Question

（2013•嘉定區(qū)一模）已知：點(diǎn)D是Rt△ABC的BC邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖），過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上（點(diǎn)F與點(diǎn)B不重合），且滿足FE=BE，聯(lián)結(jié)CF、DF．
（1）當(dāng)DF平分∠CFB時(shí)，求證：

CF

CB

=

BD

FB

：
（2）若AB=10，tanB=

3

4

．當(dāng)DF⊥CF時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用由兩對(duì)角相等的三角形相似即可證明△CFD∽△CBF，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可證明

CF

CB

=

BD

FB

；
（2）利用已知條件可求出AC=6，BC=8，因?yàn)閠anB=

3

4

．可設(shè)DE=3x，則BE=4x，則BD=5x，CD=BC-BD=8-5x，再證明三角形ACF是等腰三角形，進(jìn)而得到CF=6，根據(jù)勾股定理建立方程求出x的值即可．

解答：（1）證明：∵DF平分∠CFB，
∴∠CFD=∠EFD，
∵DE⊥AB，F(xiàn)E=BE，
∴DF=BD，
∴∠EFD=∠DBF，
∵∠FCD=∠BCF，
∴△CFD∽△CBF，
∴

CF

CB

=

FD

FB

，
∵DF=BD，
∴

CF

CB

=

BD

FB

；

（2）解：∵AB=10，tanB=

3

4

，
∴AC=6，BC=8，
∵tanB=

3

4

．設(shè)DE=3x，則BE=4x，則BD=5x，CD=BC-BD=8-5x，
∵DE⊥AB，F(xiàn)E=BE，
∴DF=BD，
∴∠DFB=∠B，
∵DF⊥CF，
∴∠AFC+∠BFD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠AFC，
∴AC=FC=6，
∴6²+（5x）²=（8-5x）²，
解得：x=

7

20

，
故當(dāng)DF⊥CF時(shí)，BD的長(zhǎng)是

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，題目的綜合性很好，難度中等．