Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣ ，）

【解析】

（1）將A（-3，0），B（0，3），C（1，0）三點的坐標代入y=ax2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；

（2）先證明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再證明△PDE是等腰直角三角形，則PE越大，△PDE的周長越大，再運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+3，則可設(shè)P點的坐標為（x，-x2-2x+3），E點的坐標為（x，x+3），那么PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-（x+）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當x=-時，PE最大，△PDE的周長也最大．將x=-代入-x2-2x+3，進而得到P點的坐標．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°．

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PE越大，△PDE的周長越大．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

，解得，

即直線AB的解析式為y=x+3．

設(shè)P點的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），E點的坐標為（x，x+3），

則PE=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

所以當x=﹣時，PE最大，△PDE的周長也最大．

當x=﹣時，﹣x2﹣2x+3=﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，

即點P坐標為（﹣，）時，△PDE的周長最大．