Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸．直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF．
（1）當(dāng)∠AOB=30°時，求弧AB的長；
（2）當(dāng)DE=8時，求過點O、A、F的拋物線的解析式；
（3）在點B運動過程中，點E在線段OA上時，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=$\frac{1}{2}$AO=5，根據(jù)弧長公式求解；
（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF，從而求出點F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可解答；
（3）存在．當(dāng)以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO．

解答 解：（1）如圖1，連接BC

∵A（10，0），
∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的長=$\frac{60×π×5}{180}$=$\frac{5π}{3}$；
（2）①若D在第一象限，
如圖2，連接OD，

∵OA是⊙C直徑
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{OE}$，即$\frac{4}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=3；
∴點F的坐標(biāo)為（6，4），
設(shè)過點O、A、F的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把點O（0，0），A（10，0），F(xiàn)（6，4）代入y=ax²+bx+c，
得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{100a+10b+c=0}\\{36a+6b+c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{1}{6}{x}^{2}+\frac{5}{3}x$
②若D在第二象限，
如圖3，連接OD

∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{OE}$，即=$\frac{16}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=12；
∴點F的坐標(biāo)為（-6，-12），
設(shè)過點O、A、F的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把點O（0，0），A（10，0），F(xiàn)（-6，-12）代入的：
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{100a+10b+c=0}\\{36a-6b+c=-12}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{4}}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{5}{4}x$．
（3）設(shè)OE=x，
①如圖4，當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC
中點，即OE=$\frac{5}{2}$，
∴E₁（$\frac{5}{2}$，0）；
當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{AD}$，即$\frac{5-x}{10-x}=\frac{1}{4}$，解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴E₂（$\frac{10}{3}$，0）；
②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
如圖5，連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{OC}{OE}$，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CE}{AE}$，
而AD=2BE，
∴$\frac{OC}{2OE}=\frac{CE}{AE}$，
即$\frac{5}{2x}=\frac{x-5}{10-x}$，
解得：${x}_{1}=\frac{5+5\sqrt{17}}{4}，{x}_{2}=\frac{5-5\sqrt{17}}{4}$＜0（舍去），
∴E₃（$\frac{5+5\sqrt{17}}{4}$，0）；
此時點E坐標(biāo)為：E₁（$\frac{5}{2}$，0）、E₂（$\frac{10}{3}$，0）、E₃（$\frac{5+5\sqrt{17}}{4}$，0）．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，圓周角定理，弧長公式的運用．關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)基本條件，圖形的性質(zhì)，分類求解．