Question

如圖，直線y=kx+b交反比例函數(shù)y=

8 3

x

的圖象于點(diǎn)A（4，m）和點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E（0，-2

3

）
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D使CD=DA？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）取C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連EF，點(diǎn)P為△CEF外一點(diǎn)，連PE，PF，PC，當(dāng)P在△CEF外運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠EPF=30°，有兩個(gè)結(jié)論：①PE²+PF²=PC²②PE+PF=PC+EF，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，作選擇并證明．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A（4，m）在反比例函數(shù)y=

8 3

x

的圖象上，
∴m=

8 3

4

=2

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2

3

），
∵點(diǎn)A（4，2

3

），點(diǎn)E（0，-2

3

）都在直線y=kx+b上，
∴

4k+b=2 3 b=-2 3

，
解得

k= 3 b=-2 3

，
∴直線解析式為y=

3

x-2

3

，
令y=0，則

3

x-2

3

=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）y軸上存在點(diǎn)D（0，2

3

），使CD=DA．
理由如下：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，y），
則CD=

(2-0)2+(0-y)2

，
AD=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
∵CD=DA，
∴

(2-0)2+(0-y)2

=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
兩邊平方并整理得，4

3

y-24=0，
解得y=2

3

，
∴y軸上存在點(diǎn)D（0，2

3

），使CD=DA；

（3）結(jié)論①PE²+PF²=PC²正確．
理由如下：∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，-2

3

），
∴CE=

CO2+OE2

=

22+(2 3 )2

=4，tan∠ECO=

OE

OC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ECO=60°，
又∵點(diǎn)F、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等邊三角形，
如圖，把△PCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P′C′E，連接PP′，
則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，△PP′C為等邊三角形，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故結(jié)論①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤．