Question

【題目】如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，邊AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A，E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜5），過(guò)P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N．

（1）直接寫出 D，E 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，D（ ），E（ ）

（2）求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，DP平分∠EDA？

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2，4）．(2) S矩形PMNE=-（t-）2+，當(dāng)t=時(shí)，S矩形PMNE有最大值．（3）當(dāng)t=時(shí)，DP平分∠EDA．（4）當(dāng)t=或t=2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（5-2，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CE的長(zhǎng)，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)．在直角三角形CDE中，CE長(zhǎng)已經(jīng)求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng)，也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）很顯然四邊形PMNE是個(gè)矩形，可用時(shí)間t表示出AP，PE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形APM和AED求出PM的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式得出S，t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值；

（3）由DP是∠EDA的角平分線可知：PE=PM，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，最后再求解即可；

（4）本題要分三種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）ME=MA時(shí)，此時(shí)MP為三角形ADE的中位線，那么AP=，據(jù)此可求出t的值，過(guò)M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，縱坐標(biāo)為D點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半．由此可求出M的坐標(biāo)．（Ⅱ）當(dāng)MA=AE時(shí)，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形AMP和ADE來(lái)求出AP，MP的長(zhǎng)，也就能求出t的值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，此時(shí)AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標(biāo)；（Ⅲ）EM=EA的情況不成立．

試題解析：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE==3．

∴CE=2．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4-OD）2+22=OD2．

解得：OD=．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∴PM=．

又∵AP=t，ED=，AE=5，

∴PM=．

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA=90°，

∴四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE=×(5-t)=- t2+t．

∴S矩形PMNE=-（t-）2+，

又∵0＜＜5．

∴當(dāng)t=時(shí)，S矩形PMNE有最大值．

（3）∵四邊形NMPE是矩形，

∴PM⊥AD，PE⊥DE．

又∵DP平分∠EDA，

∴PE=PM．

由（2）可知：PM=，PE=5-t．

∴=5-t．

解得：t=．

∴當(dāng)t=時(shí)，DP平分∠EDA．

（4）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點(diǎn)，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當(dāng)t=時(shí)，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD==．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP=．

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA-AF=OA-AP=5-2，

∴當(dāng)t=2時(shí)，（0＜2＜5），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（5-2，）．

（Ⅲ）根據(jù)圖形可知EM=EA的情況不成立．

綜合綜上所述，當(dāng)t=或t=2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（5-2，）．