Question

如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE、DE．F為BC上一點(diǎn)，且EF=EB．
（1）求證：EF⊥ED；
（2）若CF=AE，連接DF，求證：DF∥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）過(guò)E點(diǎn)作EM⊥BC并反向延長(zhǎng)交AD于N，可證明△DEN≌△BME，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可證明∠DEF=90°，可證得結(jié)論；
（2）分別在Rt△BEM和Rt△DCF中計(jì)算∠EBM和∠DFC的正切值，可證明∠EBM=∠DFC，可證得平行．

解答：證明：（1）如圖，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥BC并反向延長(zhǎng)交AD于N，
∵正方形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，
∴DE=BE，
又∵AC平分∠BAD，∠DAE=45°，
∴△AEN為等腰直角三角形，
∴BM=AN=NE，
在Rt△DEN和Rt△BME中，

EN=BM DE=BE

，
∴Rt△DEN≌Rt△BME（HL），
∴∠EDN=∠BEM，
∵BE=EF，EM⊥BF，
∴∠BEM=∠FEM，
∴∠EDN=∠FEM，
又∵∠NED+NDE=90°，
∴∠NED+∠MEF=90°，
∴∠DEF=90°，即DE⊥EF；
（2）設(shè)AN=BM=MF=1，則AE=CF=

2

，
∴BC=MN=2+

2

，
在Rt△BEM中，tan∠EBM=

EM

BM

=

2 +1

1

=

2

+1，
在Rt△DCF中，tan∠DFC=

DC

CF

=

2 +2

2

=

2

+1，
∴tan∠EBM=tan∠DFC，
∴∠EBM=∠DFC，
∴DF∥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，在（1）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，注意利用等腰三角形的性質(zhì)，在（2）中利用三角函數(shù)值相等可得到角相等是常用的方法．