Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點A（0，2）為圓心，2為半徑的圓交y軸于點B．已知點C（2，0），點D為⊙A上的一動點，以CD為斜邊，在CD左側(cè)作等腰直角三角形CDE，連結BC，則△BCE面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】4﹣．

【解析】

設出點E（m，n），先構造出△CME≌△END（AAS），進而確定出點D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用兩點間的距離得出點E是以O為圓心，為半徑的圓上，即可得出結論．

解：如圖，設E（m，n），

過點E作EM⊥x軸于M，過點作DN⊥EM，交ME的延長線于N，

∴∠CME＝∠END＝90°，

∴∠MCE+∠MEC＝90°，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝DE，∠CED＝90°，

∴∠NED+∠MEC＝90°，

∴∠MCE＝∠NED，

∴△CME≌△END（AAS），

∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，

∴D（m+n，n+2﹣m），

∵點D在以A（0，2）為圓心半徑為2的圓上，

連接AD，則AD＝2，

∴＝2，

∴＝，

即，

∴點E在以點O為圓心，為半徑的圓上，（到定點（0，0）的距離是的點的軌跡），

∵以點A（0，2）為圓心，2為半徑的圓交y軸于點B，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

∵C（2，0），

∴OC＝2，

∴BC＝2，

過點O作OH⊥BC于H，

∴OH＝＝，

設點E到BC的距離為h，

∴S△BCE＝BCh＝×h＝h，

∴h最小時，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2，

∴S△BCE最小＝（）＝4﹣，

故答案為：4﹣．