Question

如圖1，是邊長(zhǎng)分別為4和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CD′E′疊放在一起．
（1）操作：固定△ABC，將△CD′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CDE，連接AD、BE，如圖2．探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由；
（2）操作：固定△ABC，若將△CD′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR，如圖3．探究：在圖3中，除△ABC和△CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；
（3）探究：如圖4，在（2）的條件下，將△PQR的頂點(diǎn)P移動(dòng)至F點(diǎn)，求此時(shí)QH的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）求兩條線段之間的關(guān)系，可先證明△BCE≌△ACD，進(jìn)而得出兩條線之間的關(guān)系．
（2）等腰三角形的判定問(wèn)題，可根據(jù)題中角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
（3）簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）BE=AD
證明：由題意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）△HQC為等腰三角形
證明：因?yàn)椤螰CB=30°，
所以∠ACF=30°，
又因?yàn)椤蟁QP=60°，
所以∠QHC=∠HCQ=30°，
所以△HQC為等腰三角形；

（3）由題意得，AF=2，在Rt△AFG中，F(xiàn)G=

3

，所以GR=3-

3

，
在Rt△GRH中，RH=2（3-

3

），
所以HQ=3-2（3-

3

）=2

3

-3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定定理軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及平移的性質(zhì)；進(jìn)行角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．