Question

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度數(shù)．小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問題解決（如圖2）．

圖1

請(qǐng)回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于 ，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于 ．

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（，1），連接AO．如果點(diǎn)B是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC. 當(dāng)C（x，y）在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

（1）∠APB=150°，∠PP′C=90°；（2）y=x+2（x＞0）．

【解析】

試題分析：（1）把AP旋轉(zhuǎn)60°得到AP′連接CP′易證△AP′C≌△APB，△P′PB是直角三角形，

△PP′C是等邊三角形．就可求出∠APB=150°，∠PP′C=90°；

（2）如圖，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD．

先證明△AOD是等邊三角形再證明△ADC≌△AOB即可求出∠ADC=∠AOB=150°，然后得到∠CDF=30°，設(shè)出C的坐標(biāo)即可求出y與x的關(guān)系式.

試題解析：圖1中∠APB的度數(shù)等于150°，圖1中∠PP′C的度數(shù)等于90°．

（2）如圖，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，1）， ∴tan∠AOE=，

∴AO=OD=2，∠AOE=30°， ∴∠AOD=60°． ∴△AOD是等邊三角形．

又∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，

∴∠CAD=∠OAB， ∴△ADC≌△AOB． ∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，

∴∠CDF=30°．∴DF=CF．

∵C（x，y）且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，

∴y－2=x，

∴y=x+2（x＞0）．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，三角函數(shù).