Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．

（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；

第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；

第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．

第三步，連接BD．

（2）求證：AD²=AE•AB；

（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求的值．

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）根據(jù)基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點D；點D作AC的垂線，垂足為點E；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根據(jù)相似的性質得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性質即可得到AD²=AE•AB；

（3）連OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，則不妨設AC=3x，AB=5x，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到，根據(jù)垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，則有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四邊形ECGD為矩形，則CE=DG=OD-OG=x-x=x，可計算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，則AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根據(jù)比例的性質即可得到 的值．

【解答】（1）解：如圖；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

而DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，

∴AD²=AE•AB；

（3）解：連OD、BC，它們交于點G，如圖，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，

∴不妨設AC=3x，AB=5x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CAD=∠DAB，

∴，

∴OD垂直平分BC，

∴OD∥AE，OG=1 2 AC=3 2 x，

∴四邊形ECGD為矩形，

∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，

∴AE=AC+CE=3x+x=4x，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△DOF，

∴AE：OD=EF：OF，

∴EF：OF=4x：x=8：5，

∴ ．

【點評】本題考查了圓的綜合題：平分弦所對的弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；直徑所對的圓周角為直角；運用相似三角形的判定與性質證明等積式和幾何計算；掌握基本的幾何作圖．