Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（8，0），sin∠ABO＝，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A，且頂點(diǎn)在△AOB的外接圓上，則此拋物線(xiàn)的表達(dá)式為_____．

Answer 1

【答案】y＝﹣x2+4x或y＝x2﹣x.

【解析】

連接AC，過(guò)圓心O′作EF⊥OA，根據(jù)圓周角定理可得∠ABO＝∠OCA，從而求出直徑AC=10，以及勾股定理和垂徑定理得出E，F點(diǎn)著的坐標(biāo)，進(jìn)而分兩種情況利用頂點(diǎn)式求出拋物線(xiàn)解析式即可．

解：如圖所示：連接AC，過(guò)圓心O′作EF⊥OA，

∵∠AOC＝90°，∠ABO＝∠OCA，

∴ ，

∵點(diǎn)A（8，0），

∴AC＝10，

根據(jù)題意得出：AM＝OM＝4，AO′＝5，

∴MO′＝3，∴MF＝2，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，﹣2），

設(shè)過(guò)O，A，F的拋物線(xiàn)解析式為：y＝a（x﹣4）2﹣2，

將A代入（8，0）得：0＝a（8﹣4）2﹣2，

解得：a＝，

∴此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為：y＝（x﹣4）2﹣2＝x2﹣x，

根據(jù)題意得出：AM＝OM＝4，AO′＝5，

∴MO′＝3，∴ME＝8，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，8），

設(shè)過(guò)O，A，E的拋物線(xiàn)解析式為：y＝a（x﹣4）2+8，

將A代入（8，0）得：

0＝a（8﹣4）2+8，

解得：a＝﹣，

∴此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為：y＝﹣（x﹣4）2+8＝﹣x2+4x，

故答案是：y＝﹣x2+4x或y＝x2﹣x.