Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2-bx+5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A的坐標是（1，0），點A在點B的左邊.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點E為BC的中點，將△BOC沿CE方向進行平移，平移后得到的三角形為△HGF，當點F與點E重合時停止運動.設(shè)平移的距離CF=m，記△HGF在直線l：y=x-3下方的圖形面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式；

（3）如圖2，連結(jié)AC和BC，點M，E分別是AC, BC的中點.點P是線段ME上任一點，點Q是線段AB上任一點.現(xiàn)進行如下兩步操作：

第一步：沿三角形CAB的中位線ME將紙片剪成兩部分，并在線段ME上任意取一點P，線段AB上任意取一點Q，沿PQ將四邊形紙片MABE剪成兩部分；

第二步：將PQ左側(cè)紙片繞M點按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段MA與MC重合，將PQ右側(cè)紙片繞E點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段EC與EB重合，拼成一個與三角形紙片ABC面積相等的四邊形紙片．(注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊)

求拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值與最大值的和.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-6x+5；（2）S =；（3）最大周長與最小周長的和是.

【解析】

（1）運用待定系數(shù)法求解即可；

（2）進行分類討論：①當0≤m≤時先求出點J的坐標，再求出ΔJHK的面積即可；②當≤m≤時，求出ΔFJK的面積，再求出四邊形KGHJ的面積即可；

（3）通過拼圖，可求出最大周長和最小周長.

（1）∵已知拋物線y=x2-bx+5與x軸交于A（1，0），代入解析式，得0=12-m+5，

解得：b=6.

∴拋物線解析式為y=x2-6x+5.

（2）如圖：

①當0≤m≤時，求得兩直線交點J點的坐標，

∴J點的坐標是(4，1).

∴CJ=4，BJ=，

∴JH=+m.

∴S=ΔJHK的面積=

②當≤m≤時，

∵BH=CF=m,BJ=，

∴JH=+m.

∴FJ=-JH=

∴ΔFJK的面積是

S=四邊形KGHJ的面積=—= .

（3）拼成的四邊形必是平行四邊形，如圖所示時周長最小，此時拼成的圖形是矩形.PQ⊥AB，易求得A(1，0)，B(5，0)，AB=4.ME=2.

∴NT=4，RN=PQ=

∴最小周長=2×（4+）=13.

如圖，所示時，周長最大.此時，NT=4，RM=MB=

∴最大周長

∴最大周長與最小周長的和是.