Question

【題目】（1）如圖1，△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°．請用直角三角尺（僅可畫直角或直線）在圖中畫出一個點P，使得∠APB=45°；

（2）如圖2，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，請用直尺和圓規(guī)作出一個點Q，使點Q與點C在AB同側(cè)，QA=QB，∠AQB=；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）如圖3，若 AC=BC=，∠ACB=90°，以點A為原點，直線AB 為 x 軸，過點A垂直于AB的直線為 y 軸，建立平面直角坐標系，直線y= - x+b(b>0)交 x 軸于點M，交 y 軸于點N．當點P在直線MN上，且∠APB=45°，求點P的個數(shù)及對應的b的取值范圍；

（4）如圖4，△ABC 中，AB=a，∠ACB=，請用直尺和圓規(guī)作出點P，使得∠APB=且AP+BP最大，請簡要說明理由．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當時，點P的個數(shù)為2個，當或 時，點P的個數(shù)為1個，當時，點P有0個；（4）圖見解析，理由見解析

【解析】

（1）畫∠ABM=90°，延長AC與BM交于點P，則∠APB=45°；

（2）作△ACB的外接圓與AB的垂直平分線交于點Q,則AQ=BQ,∠AQB=∠ACB=；

（3）以點C為圓心，AC長為半徑畫圓，當直線恰好與圓相切時，此時處于臨界點，求出此時b的值，然后通過對直線的平移即可確定b的取值范圍，通過平移后直線與圓的交點的個數(shù)即可確定點P的個數(shù)；

（4）在問題（2）已作圖像基礎上，以點Q為圓心，AQ長為半徑作圓，在 上取一點 即可滿足 ，然后延長 交⊙Q于點F，連接FB，易證 ， ，當AF 為直徑時最大，即點P為弧AB中點時最大．

解：(1)如圖：

（2）如圖：

(3)如圖，以點C為圓心，AC長為半徑畫圓，當直線恰好與圓相切時，設切點為P，此時 ,

，

，

，

，

∴點P的坐標為 ，

將點P代入中得，

解得 ．

當直線恰好平移到與BC重合時，點B在直線上，將點B（2，0）代入中得， ，解得 ．

然后通過對直線的平移之后得到的新直線與圓的交點的個數(shù)即可得出P點的個數(shù)，

當時，不存在這樣的P點，當時，存在兩個P點，當時，雖然直線與圓有兩個交點，但是其中一個點不滿足題意，所以只存在一個P點．

綜上所述，當時，點P的個數(shù)為2個，當或 時，點P的個數(shù)為1個，當時，點P有0個，；

(4)如圖，

理由如下：

在問題（2）已作圖像基礎上，以點Q為圓心，AQ長為半徑作圓，在 上取一點 即可滿足 ，然后延長 交⊙Q于點F，連接FB，

,

當AF 為直徑時最大，即點P為弧AB中點時最大