Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點(diǎn)P，以O(shè)P為半徑的⊙P與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B．設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：當(dāng)t=1時(shí)，⊙P的半徑為        ，OA=        ，OB=        ；

（2）若點(diǎn)C是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且以點(diǎn)O、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

①請(qǐng)你直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）

②當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，連接DC、DA，試判斷△DAC的形狀，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；2；2。

（2）①符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，分別為C₁（t，3t）、C₂（－t，t）、C₃（t，－t）。

②△DAC是等腰直角三角形。理由見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)求解。

（2）①本問(wèn)關(guān)鍵是畫(huà)出符合條件的圖形，總共有3種情況，符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，如圖1，

連接PA，

∵∠AOB=90°，由圓周角定理可知，AB為圓的直徑，點(diǎn)A、P、B共線。

∵圓心P在直線y=x上，∴∠POA=∠POB=45°。

又∵PO=PA=PB，∴△POB與△POA均為等腰直角三角形。

設(shè)動(dòng)直線l與x軸交于點(diǎn)E，

則有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）。

∵OBPC₁為平行四邊形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，

∴C₁（t，3t）。

同理可求得：C₃（t，－t）。

∵OPBC₂為平行四邊形，且PB=PO，∠OPB=90°，

∴OPBC₂為正方形，其對(duì)角線OB位于y軸上，則點(diǎn)P與點(diǎn)C₂關(guān)于x軸對(duì)稱。

∴C₂（－t，t）。

∴符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，分別為C₁（t，3t）、C₂（－t，t）、C₃（t，－t）。

②正確作出圖形，找到線段CD與AD之間的關(guān)聯(lián)，這就是Rt△DCE∽R(shí)t△ADO，通過(guò)計(jì)算可知其相似比為1，即兩個(gè)三角形全等，從而得到CD=AD，△DAC為等腰直角三角形。本問(wèn)符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示。

△DAC是等腰直角三角形。理由如下：

當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，如圖2，連接DA、DC、PA、AC，

由（2）可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，3t），

由點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2t，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2t），可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形。

又PO=PB，進(jìn)而可得△OPB也是等腰直角三角形，

則∠POB=∠PBO=45°。

∵∠AOB=90°，∴AB為⊙P的直徑。

∴A、P、B三點(diǎn)共線。

又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°。

∴∠ABC=180°－∠CBE－∠PBO=90°�！郃C為⊙Q的直徑�！郉A⊥DC。

∴∠CDE+∠ADO=90°。

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，則有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE。

∴Rt△DCE∽R(shí)t△ADO，∴，即，解得OD=t或OD=2t。

依題意，點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t。

∴，即相似比為1，此時(shí)兩個(gè)三角形全等，則DC=AD。

∴△DAC是等腰直角三角形。

當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，如圖3，同上可證△DAC也是等腰直角三角形。

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，△DAC必為等腰直角三角形。