Question

【題目】已知拋物線：(為常數(shù))的頂點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(用含的式子表示)

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，存在函數(shù)圖象，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)在拋物線上，對于任意的實(shí)數(shù)，都有點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱．

①當(dāng)時(shí)，求圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式；

②當(dāng)時(shí)，都有成立，結(jié)合圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①，②所求的取值范圍為或．

【解析】

（1）把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到答案；

（2）①根據(jù)題意，由軸對稱的性質(zhì)，有，然后整理得到，即可得到答案；

②根據(jù)題意，由兩個(gè)函數(shù)圖形的性質(zhì)，可分成3種情況進(jìn)行分析，畫出圖像，分別求出t的取值范圍即可．

（1）

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）①當(dāng)時(shí)，得的解析式為：，

點(diǎn)在上，∴

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，到點(diǎn)的距離相等，此三點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，有.

∴

整理，得，

由于為任意實(shí)數(shù)，令為自變量，為.

即可得的解析式為：；

②關(guān)于拋物線的性質(zhì)：

點(diǎn)在上，∴

由：，知

拋物線開口向上，對稱軸為，頂點(diǎn)，且圖象恒過點(diǎn).

∴當(dāng)時(shí)，圖象的隨著的增大而增大.

當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值；

最大值比最小值大1.

關(guān)于圖象的性質(zhì)：

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，

有，

，

整理，得

所以，圖象的解析式為：.

配方，得

∴圖象為一拋物線，開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)，且圖象恒過點(diǎn).

∴當(dāng)時(shí)，圖象的隨著的增大而增大.

當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值，即過；最大值比最小值大1.

情況1：當(dāng)，兩點(diǎn)重合，即兩個(gè)函數(shù)恰好都經(jīng)過，時(shí)，把代入得，解得，或.

分別對應(yīng)圖3，圖4兩種情形，由圖可知，當(dāng)，或時(shí)，與重合，即有，不合題意，舍去；

情況2：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方，即時(shí)，大致圖象如圖1，當(dāng)時(shí)，大致圖象如圖2，都有點(diǎn)在點(diǎn)的上方，即成立，符合題意；

情況3：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，即時(shí)，大致圖象如圖5，圖6，當(dāng)時(shí)，存在在的下方，即存在，不符合題意，舍去；

綜上所述，所求的取值范圍為：或.