Question

如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥DA于Q，∠BPQ的度數(shù)是

 

；若PQ=3，EP=1，則DA的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)全等三角形的判定定理SAS證出△AEB≌△CDA，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°，求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
∴在△AEB與△CDA中

AB=AC ∠BAE=∠C A=CD

，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=

1

2

BP=3，
∴BP=6，
∵EP=1，
∴BE=BP+PE=7，
故答案為：60°，7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．