Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線DE是⊙O的切線，見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得ED＝EB，則∠EDB＝∠B，結(jié)合∠A＝∠ODA，利用等量代換計(jì)算出∠ODE＝90°，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）作OH⊥AD于H，則AH＝DH，利用∠A的正弦可計(jì)算出OH＝，則AH＝，AD＝2AH＝，進(jìn)而得BF＝，然后利用∠B的余弦計(jì)算出EB，從而得到ED的長．

連接OD，

∵EF垂直平分BD，

∴ED＝EB，

∴∠EDB＝∠B，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∵∠A+∠B＝90°，

∴∠ODA+∠EDB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴直線DE是⊙O的切線；

（2）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB=5，

作OH⊥AD于H，

∵OA＝OD，

∴AH＝DH，

∵在Rt△OAB中，sinA＝＝，

∴在Rt△OAH中，sinA＝，

∴OH＝，

∴AH＝＝，

∴AD＝2AH＝，

∴BD＝5﹣＝，

∴BF＝BD＝，

∵在Rt△ABC中，cosB＝，

在Rt△BEF中，cosB＝＝，

∴BE＝×＝，

∴DE= BE= ．