Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC

（1）直接寫出B、C、D各點的坐標：B 、C 、D ；

（2）如圖1，P（3，10），點E，M在四邊形ABCD的邊上，且E在第二象限．若△PEM是以PE為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點E的坐標，并對其中一種情況計算說明；

（3）如圖2，F(xiàn)為y軸正半軸上一動點，過F的直線j∥x軸，BH平分∠FBA交直線j于點H．G為BF上的點，且∠HGF=∠FAB，F(xiàn)在運動中FG的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）點E坐標（-1，8）或（-4，7）；（3）不發(fā)生變化.

【解析】

（1）根據(jù)題意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三點坐標，由題意可證四邊形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求點D坐標；

（2）分點E在CD上，點EAD上討論，通過等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，可求點E坐標；

（3）點H作HR⊥BF于點R，通過證△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，則點F在運動中FG的長度不發(fā)生變化．

（1）∵+|b-l|=0，

∴b=1，a=-4，

∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），

∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，

∵CD∥AB，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，且BC⊥AB

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，CD=AB=5

∴D（-4，8）

（2）如圖，若點E在CD上時，過點E作EN∥y軸，過點M作MN⊥EN于N，過點P作PH⊥EN于點H，

∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，

∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，

∴△PHE≌△ENM（AAS）

∴PH=EN，HE=MN=2，

∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，

∴四邊形MNEC是矩形，

∴CE=MN=2，且點C（1，8）

∴點E坐標（-1，8）

如圖，若點E在AD上，過點P作PH⊥AD，交AD的延長線于H，

∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°

∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°

∴△PHE≌△EAM（AAS）

∴AE=PH=7

∴點E坐標（-4，7）

（3）不發(fā)生變化，

如圖，過點H作HR⊥BF于點R，

∵BH平分∠ABF，

∴∠FBH=∠ABH，

∵FH∥AB，

∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，

∴∠FHB=∠FBH，

∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，

∴△HFR≌△FBO（AAS）

∴RF=OB=1，HR=FO，

∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，

∴△HRG≌△FOA（AAS），

∴RG=AO=4，

∴FG=RG-RF=4-1=3，

∴點F在運動中FG的長度不發(fā)生變化．