Question

如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)F分別作x軸、y軸的垂線，垂足為G、E．設(shè)四邊形BCFE的面積為S₁，四邊形CDGF的面積為S₂，△AFG的面積為S₃．

（1）試判斷S₁、S₂，的關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)S₃：S₁=1：3時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖，在（2）的條件下，把△AEF沿對(duì)角線AC所在直線平移，得到△A’E’F’，且A’、F’兩點(diǎn)始終在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)E’，使點(diǎn)E’到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E’的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）S₁=S₂；（2）F（4，3）；（3）存在滿足條件的E′坐標(biāo)分別是( 6，) (，)

試題分析：（1）兩者應(yīng)該相等，由于四邊形ADCB是矩形，那么對(duì)角線平分矩形的面積，同理OF也平分矩形AEFG的面積，由此就不難得出S₁=S₂了；
（2）S₃：S₂=1；3，也就能得出S_△AGF：S_△ADC=1：4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得出OF：OC=1：2，即F為OC中點(diǎn)．由此可根據(jù)C、D的坐標(biāo)直接求出F的坐標(biāo)；
（3）由于A′F′始終在OC上，因此EE′所在的直線必平行于OC，可先求出直線EE′的解析式，然后根據(jù)E′橫、縱坐標(biāo)的比例關(guān)系來(lái)設(shè)出E′的坐標(biāo)，代入直線EE′中即可求出E′A的坐標(biāo)．
（1）S₁=S₂
∵FE⊥y軸，F(xiàn)G⊥x軸，∠BAD=90°，
∴四邊形AEFG是矩形．
∴AE=GF，EF=AG．
∴S_△AEF=S_△AFG，
同理S_△ABC=S_△ACD．
∴S_△ABC-S_△AEF=S_△ACD-S_△AFG．
即S₁=S₂．
（2）∵FG∥CD，
∴△AFG∽△ACD．

∵CD=BA=6，AD=BC=8，
∴FG=3，AG=4．
∴F（4，3）；
（3）∵△A′E′F′是由△AEF沿直線AC平移得到的，且A′、F′兩點(diǎn)始終在直線AC上，
∴點(diǎn)E′在過(guò)點(diǎn)E（0，3）且與直線AC平行的直線l上移動(dòng)．
∵直線AC的解析式是y=x，
∴直線L的解析式是y=x+3．
設(shè)點(diǎn)E′為（x，y），
∵點(diǎn)E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5：4，
∴|y|：|x|=5：4．

∴E′（6，7.5）；
∴存在滿足條件的E′坐標(biāo)分別是( 6，) (，)．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.