Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N．
（1）試找出圖中所有的等腰三角形，請直接寫出來；
（2）若MD=2cm，求DC的長．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難．
（2）BM=2MD，AM=BM，則AD=3ND=6cm，易證DC=AD=6cm．

解答：解：（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE．理由如下：
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高
∴∠DAC=45°，
又∵∠ACB=45°
∴△ADC為等腰三角形．
∵∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，
又∵∠BAM=30°
∴△AMB為等腰三角形．
由題意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC為等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP為等腰三角形．
∵∠ABE=30°，∠BAC=75°
∴∠BEA=75°
∴△ABE為等腰三角形．

（2）在直角三角形BDM中，
∵M(jìn)D=2cm，∠MBD=30°
∴BM=4cm
在等腰△AMB中，BM=AM
則AD=AM+MD=6cm，
在等腰直角三角形ADC中
AD=DC
則DC=6cm．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．