Question

【題目】直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，并與x軸交于另一點(diǎn)A．

（1）求此拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)P（，），Q（，），與直線BC交于點(diǎn)，N（，），若＜＜，結(jié)合函數(shù)的圖象，求的取值范圍；

（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，1）的直線m與射線AC、射線OB分別交于點(diǎn)M、N．當(dāng)直線m繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)， 是否為定值，若是，求出這個(gè)值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）=； ；（2）1＜＜2；（3）為定值3．

【解析】（1）先求得直線y=-x+3與x軸、y軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，代入入求得a、k的值，即可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；令y=0，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）根據(jù)題意可得y1=y2，即可得x1+x2=2；當(dāng)直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，x1=x3=0，x2=2，此時(shí)x1+x3+x2=2，當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，直線BC的解析式為，y=4時(shí)，x=﹣1, 此時(shí)，x1=x2=1，x3=﹣1，此時(shí)x1+x3+x2=1;當(dāng)直線l在直線l1與直線l2之間時(shí)，x3＜x1＜x2，即可得1<<2；（3）為定值3，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）．所以AN=+1=即可得=;將y=3x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x=．求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為． 過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG==．再由△MAG∽△CAO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,,==，由此可得=+==3.

（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，

∴B(3，0)，C（0，3）；

把B(3，0)，C（0，3）代入得，

，

解得 ，

∴拋物線函數(shù)表達(dá)式為=；

令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3；

∴A（-1，0）；

設(shè)AC的解析式為y=kx+b，

，

解得，

∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）∵y1=y2，∴x1+x2=2．

當(dāng)直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，x1=x3=0，x2=2，此時(shí)x1+x3+x2=2，

當(dāng)直線l2經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，直線BC的解析式為，y=4時(shí)，x=﹣1, 此時(shí)，x1=x2=1，x3=﹣1，此時(shí)x1+x3+x2=1;當(dāng)直線l在直線l1與直線l2之間時(shí)，x3＜x1＜x2 ,

∴1<<2．

(3)為定值3．

理由如下：設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）．∴AN=+1=,=;

將y=3x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x=．∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．

過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG==．

∵△MAG∽△CAO,∴,

∴,==

∴=+==3.