Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)M為對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形EMFD面積的最大值為（ ）

A.6
B.12
C.18
D.24

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵M(jìn)E⊥AD，MF⊥DC，

∴∠DEM=90°，∠DFM=90°，

∴四邊形EDFM是矩形；

∴DF=EM，DE=FM，F(xiàn)M∥AD，ME∥CD，

∴△AEM∽△ADC，

∴ = ，

設(shè)DF=EM=x，DE=FM=y，

∴ = ，

y=﹣ x+6，

四邊形EMFD面積=xy=x（﹣ x+6）=﹣ （x﹣4）2+12，

故x=4時(shí)，四邊形EMFD面積的最大值為12．

所以答案是：B．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．