【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=14，AD= 4 ， CD=7．直線l經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB= ． 動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于AB，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）求腰BC的長；

（2）當(dāng)Q在BC上運(yùn)動時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？

【答案】（1）5；（2）S=﹣5t2+14t(0＜t≤1）（3）不存在，理由見解析；（4）t=或t=

【解析】

試題（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，求出梯形的高，然后利用勾股定理求出BC有長；

（2）當(dāng)0＜t≤1時，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t；

（3）在（2）的條件下，不存在某一時刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．

試題解析：（1）5

（2）當(dāng)0＜t≤1時，S=×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t

（3）梯形ABCD的面積為42

﹣5t2+14t=42程無解，所以△MPQ的面積不能為梯形ABCD的。

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：

①如圖4所示，點(diǎn)M在線段NM的右側(cè)上

，

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，

由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；

②如圖5所示，當(dāng)Q在MN的左側(cè)時，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，

解得：t=．

故當(dāng)t=或t=時，△QMN為等腰三角形．

考點(diǎn): 一次函數(shù)綜合題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四個命題：

①三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分；

②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

③點(diǎn)P（1,2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2）；

④兩圓的半徑分別是3和4，圓心距為d，若兩圓有公共點(diǎn)，則

其中正確的是

A. ①② B.①③ C.②③ D.③④

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD的面積；

（3）若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD=S△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,點(diǎn)O在邊長為6的正方形ABCD的對角線AC上,以O為圓心OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)E.

（1）⊙O過點(diǎn)E的切線與BC交于點(diǎn)F,當(dāng)0＜OA＜6時,求∠BFE的度數(shù);

（2）設(shè)⊙O與AB的延長線交于點(diǎn)M,⊙O過點(diǎn)M的切線交BC的延長線于點(diǎn)N,當(dāng)6＜OA＜12時,利用備用圖作出圖形,求∠BNM的度數(shù).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價為260元時,月銷售量為45噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤,準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價為x（元）,該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．

（1）當(dāng)每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量;

（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）;

（3）該建材店要獲得最大月利潤,售價應(yīng)定為每噸多少元?

（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時,月銷售額也最大．”你認(rèn)為對嗎?請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y），若過點(diǎn)Q的直線l與x軸夾角為45°時，則稱直線l為點(diǎn)Q的“湘依直線”．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），求點(diǎn)A的“湘依直線”表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4），過點(diǎn)D的“湘依直線”圖象經(jīng)過第二、三、四象限，且與x軸交于C點(diǎn)，動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=（x＞0）上，求△PCD面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），經(jīng)過點(diǎn)M且在第一、二、三象限的“湘依直線”與拋物線y=x2+（m﹣2）x+m+2相交與A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若0≤x1≤2，0≤x2≤2，求m的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，反比例函數(shù)上有一點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）將直線沿軸方向向下平移使其過反比例函數(shù)的右支圖象上的點(diǎn)，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，連接、，求.

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