Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求使的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P；（3）滿足條件的點(diǎn)，

【解析】

（1）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入連立方程組求解即可；

（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)最小，即的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入C點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)關(guān)系式，令，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).

（3）設(shè)CP的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，當(dāng)CP垂直AB時(shí)，∠PCA=90°，求得m的值，將m和C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得CP的函數(shù)關(guān)系式，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)∠PAB=90°同理也可求解.

解：（1）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

，在直線上，

，

解，得．

直線的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，

連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)最小，即的周長(zhǎng)最小；

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

，

，

解得

直線的函數(shù)表達(dá)式為

令，得，

（3）設(shè)CP的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n

當(dāng)CP垂直AB時(shí)，∠PCA=90°，

kab×m=-1，

∴m=，

將m=，代入y=mx+n可得

n=-1,

∴CP：

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，

即P1的坐標(biāo)為，

設(shè)CA的函數(shù)關(guān)系式為y=cx+d，

當(dāng)CA垂直AB時(shí)，∠PAB=90°，

kab×c=-1，

∴c=，

將c=，代入y=cx+d可得

d=,

∴CA：

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，

即P2的坐標(biāo)為，

∴滿足條件的點(diǎn)，