Question

如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，與直線y=

3

x相交于點P．
（1）求點P的坐標．
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由．
（3）動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）將兩直線的解析式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值即為兩直線的交點坐標的橫縱坐標；
（2）求得直線AP與x軸的交點坐標（4，0），利用OP=4PA=4得到OA=OP=PA從而判定△POA是等邊三角形；
（3）分別求得OF和EF的值，利用三角形的面積計算方法表示出三角形的面積即可．

解答：解：（1）解方程組

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
解得：

x=2 y=2 3

．
∴點P的坐標為（2，2

3

）；

（2）當y=0時，x=4，∴點A的坐標為（4，0）．
∵OP=

22+(2 3 )2

=4PA=

(2-4)2+(2 3 -0)2

=4，
∴OA=OP=PA，
∴△POA是等邊三角形；

（3）
當0＜t≤4時，S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t2
當4＜t＜8時，S=-

3 3

8

t2+4

3

t-8

3

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合知識，解題的關鍵是正確的利用一次函數(shù)的性質(zhì)求與坐標軸的交點坐標并轉(zhuǎn)化為線段的長．