Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為，，，將此三角板繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．

（1）如圖，一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該拋物線(xiàn)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)是在第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求使四邊形的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為

又∵拋物線(xiàn)過(guò)，將坐標(biāo)代入上解析式得：

即滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)解析式為

（2）（解法一）：如圖1，∵為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)則

點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足

連接

=

當(dāng)時(shí)，最大．

此時(shí)，．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，

最大，最大面積為

（解法二）：如圖2，連接為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，

且的面積為定值，

最大時(shí)必須最大．

∵長(zhǎng)度為定值，∴最大時(shí)點(diǎn)到的距離最大．

即將直線(xiàn)向上平移到與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)時(shí)，

到的距離最大．

設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的解析式為

聯(lián)立

得

令

解得此時(shí)直線(xiàn)的解析式為：

解得

∴直線(xiàn)與拋物線(xiàn)唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)與軸交于則

過(guò)作于在中，

過(guò)作于則到的距離

此時(shí)四邊形的面積最大．

∴的最大值=