在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段AD是BC邊上的中線.
小題1:如圖(Ⅰ),將△ADC沿直線BC平移,使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,得到△FCE,連結(jié)AF.求證:四邊形ADEF是等腰梯形;

小題2:如圖(Ⅱ),在(1)的條件下,再將△FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0°<<90°)連結(jié)AF、DE.

AC⊥CF時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);②當(dāng)=60°時(shí),請(qǐng)判斷四邊形ADEF的形狀,并給予證明.

小題1:證明:∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE,
∴AD∥FC,且AD=FC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,
∴AF∥DC,即AF∥DE,------------------------------------------------1分
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACD=60°,
∵AD是BC邊上的中線,∴AD=DC,-------------------------------2分
∴△ADC是等邊三角形,------------------------------------------------3分
∵△ADC≌△FCE,∴△FCE是等邊三角形,
∴AD=FE,------------------------------------------------------------------4分
∵AF≠DE,∴四邊形ADEF是等腰梯形.--------------------------5分
小題2:①解:由(1)可知∠1=60°,-----------------6分
當(dāng)AC⊥CF時(shí),∠2=90°-60°=30°,
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°,----------------------------------7分
②四邊形ADEF為矩形,----------------------------------8分
由(1)可知△ADC和△FCE是全等正三角形,
∴CA=CE=CD=CF,---------------------9分
當(dāng)=60°時(shí),如圖(Ⅲ),∠ACF=60°+60°=120°,

∴∠ACE="120°+60°=180°" ,∴A、C、E三點(diǎn)共線,同理:D、C、F三點(diǎn)共線,--------10分
∴AE=DF,---------11分
∴四邊形ADEF為矩形.----------------------12分
利用平移的性質(zhì)、全等三角形和矩形的判定求證
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E是CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)BF。
小題1:求證:△ADE≌△FCE;
小題2:若AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結(jié)論。

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C.105°、75°、105°、75°D.75°、105°、75°、105°

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如圖,四邊形ABCD中,DCAB,BC=1,ABACAD=2,則BD的長(zhǎng)為( ▲ )
A.B.C.3D.2

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