Question

如圖：B、C是x軸上兩點(diǎn)，以BC為直徑的圓交y軸的正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（-12，0），（4，0）
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）一動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C開始沿CB運(yùn)動到B停止．過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t．求t為何值時(shí)，△PAD與△ABC相似？
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M使△ABM是等腰三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE．在直角△AEO中，根據(jù)勾股定理即可求得線段OA的長度；
（2）需要分類討論：①△PAD∽△BCA；②△PAD∽△CBA；
（3）需要分類討論：①以AB為底的等腰三角形；②以AM為底的等腰三角形．
解答：解：（1）如圖1，取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE．
∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（-12，0），（4，0），
∴BC=16．
又∵BC是直徑，
∴點(diǎn)E是圓心，且BE=CE=AE=8，OE=4．
∴在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理知OA===4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4）；

（2）易求AB=8，AC=8．
∵BC是直徑，
∴BA⊥AC．
又∵PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴=，即=，則PD=．
=，則=，即=，則AD=8-．
∵∠PDA=∠BAC=90°，
∴△PAD與△ABC相似分兩種情況：
①當(dāng)①△PAD∽△BCA時(shí)，=，即=，
解得，t=24+8（不合題意，舍去），或t=24-8；
②當(dāng)△PAD∽△CBA時(shí)，=，即=，
解得，t=40+8（不合題意，舍去），或t=40-8．
綜上所述，t=24-8或t=40-8．

（3）如圖3，當(dāng)AB=BM時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是M₁（8-12，0）、
M₃（-8-12，0）；
當(dāng)AB=BM時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是M₂（-4，0）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是M₁（8-12，0）、M₃（-8-12，0）、M₂（-4，0）．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點(diǎn)有圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及平行線截線段成比例等知識點(diǎn)．解題時(shí)，注意分類討論，以防漏解．