Question

如圖，扇形ODE的圓心角為120°，正三角形ABC的中心恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形ODE內(nèi)
（1）請連接OA、OB，并證明△AOF≌△BOG；
（2）求證：△ABC與扇形ODE重疊部分的面積等于△ABC面積的．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OA、OB，設(shè)OD交AB于F，OE交BC于G，根據(jù)O是正三角形的中心，求出OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，然后證明∠AOF=∠BOG，于是即可證明△AOF≌△BOG（ASA）；
（2）因為重疊部分總等于三角形面積的 ，可以先從三角形考慮，O為中心也就是與正三角形的中心角重合，所以應(yīng)為120°，證明是要分兩種情況：即特殊和一般，特殊情況時就是猜想所用的情況，顯然成立，一般情況的證明從三角形全等把四邊形的面積分解成兩個三角形，最后再歸到正三角形的中心角為120°的三角形．
解答：證明：（1）如圖，連接OA、OB，設(shè)OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，
∴∠AOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中 ，
∴△AOF≌△BOG（ASA），

（2）當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的 ．
證明如下：
①當扇形的圓心角與正三角形的中心角重合時：
顯然，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC的面積的 ；
②當扇形的圓心角與正三角形的中心角不重合時：
根據(jù)（1）中△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四邊形OFBG}=S_△AOB=S_△ABC，
即△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的 ，
同理可證，當扇形ODE旋轉(zhuǎn)至其他位置時，結(jié)論仍成立．
由①、②可知，當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的 ．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；猜想時從三角形考慮是解答本題的突破點，證明時一般情況的證明容易被學生忽視．