Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過定點A（1，0），它的頂點P是y軸正半軸上的一個動點，P點關(guān)于x軸的對稱點為P′，過P′作x軸的平行線交拋物線于B、D兩點（B點在y軸右側(cè)），直線BA交y軸于C點．按從特殊到一般的規(guī)律探究線段CA與CB的比值：
（1）當P點坐標為（0，1）時，寫出拋物線的解析式并求線段CA與CB的比值；
（2）若P點坐標為（0，m）時（m為任意正實數(shù)），線段CA與CB的比值是否與（1）所求的比值相同？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A（1，0），設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+1，首先得出二次函數(shù)解析式，進而得出P'點的坐標，從而得出B點坐標，再利用△CP′B∽△COA，得出線段CA與CB的比值；
（2）根據(jù)設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+m（a≠0），得出y=-mx²+m，首先表示出B點的坐標，進而利用△CP′B∽△COA，得出線段CA與CB的比值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+1（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴0=a+1，a=-1，
∴y=-x²+1．
∵P′、P關(guān)于x軸對稱，且P（0，1），
∴P′點的坐標為（0，-1），
∵P′B∥x軸，
∴B點的縱坐標為-1，
由-1=-x²+1，
解得x=±

2

，
∴B(

2

，-1)，
∴P'B=

2

．
∵OA∥P'B，
∴△CP'B∽△COA，
∴

CA

CB

=

OA

P′B

=

1

2

=

2

2

．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+m（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴0=a+m，a=-m，
∴y=-mx²+m．
∵P′B∥x軸，
∴B點的縱坐標為-m，當y=-m時，-mx²+m=-m，
∴m（x²-2）=0，
∵m＞0，
∴x²-2=0，
∴x=±

2

，
∴B(

2

，-m)，
∴P'B=

2

，
同（1）得

CA

CB

=

OA

P′B

=

1

2

=

2

2

．
∴m為任意正實數(shù)時，

CA

CB

=

2

2

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)，得出根據(jù)P′B=

2

，再利用△CP′B∽△COA，得出是解決問題的關(guān)鍵．