Question

以邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的對(duì)角線AC長(zhǎng)為半徑，以點(diǎn)A為圓心作弧交AB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得扇形AECF，把扇形AECF的面積稱為正方形ABCD面積的擴(kuò)展；再以線段AE為一邊作正方形AEGH，以對(duì)角線AG的長(zhǎng)為半徑，點(diǎn)A為圓心畫弧交AE邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AH邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，得扇形AMGN，則扇形AMGN的面積是正方形AEGH面積的擴(kuò)展，按此法依次進(jìn)行到如圖所示，叫做正方形ABCD面積的第一次擴(kuò)展．按這種方法可進(jìn)行第二次擴(kuò)展，直到第n次擴(kuò)展
（1）求第一次擴(kuò)展中各扇形面積之和S₁；
（2）求第二次擴(kuò)展中各扇形面積之和S₂（第二次擴(kuò)展的第一個(gè)正方形是以第一次擴(kuò)展的最后一個(gè)扇形半徑為邊長(zhǎng)的正方形）；
（3）求第n次擴(kuò)展中各扇形面積之和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式和勾股定理可計(jì)算出扇形的面積；
（2）分別計(jì)算出各扇形的半徑，利用扇形面積公式計(jì)算；
（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，第二次是第一次的16倍，所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．

解答：解：（1）根據(jù)勾股定理可知半徑為

2

a；
第一次擴(kuò)展半徑為2a；
第三次擴(kuò)展的半徑為2

2

a；
第四次為4a；
根據(jù)扇形面積可知第一次擴(kuò)展中各扇形面積之和
S₁=

90π×2a2

360

+

90π×4a2

360

+

90π×8a2

360

+

90π×16a2

360

=

15

2

a²π．

（2）第二次擴(kuò)展中各扇形的半徑分別是

32

a，8a，

128

a，16a，
根據(jù)扇形面積可得第二次擴(kuò)展中各扇形面積之和
S₂=

90π×32a2

360

+

90π×64a2

360

+

90π×128a2

360

+

90π×256a2

360

=120πa²．

（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．
所以第n次擴(kuò)展中各扇形面積之和S_n=

15

2

16^n-1πa²．

點(diǎn)評(píng)：在第一二次中主要是根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算，在第三次中卻要從第一次和第二次中找到規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．