Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作出經過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若⊙O的直徑為5，BC＝4；求DE的長．（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）作△ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓即可解決問題；
（2）作ON⊥BC于H首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解決問題；

（1）⊙O如圖所示；

（2）作OH⊥BC于H．

∵AC是⊙O的切線，

∴OE⊥AC，

∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，

∴四邊形ECHO是矩形，

∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，

在Rt△OBH中，OH==2，

∴EC=OH=2，BE==2，

∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，

∴△BCE∽△BED，

∴=，

∴=，

∴DE=．