【題目】如圖,ACABCD的對(duì)角線,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),連接BEAC于點(diǎn)F,連接CE,DF,若∠BEC=∠BAC=90°,則sin∠DFE的值為_____

【答案】

【解析】

如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO、EO,作DHBE于H,設(shè)EF=a,由已知可推導(dǎo)得出A、B、C、E四點(diǎn)共圓,再根據(jù)AE∥BC,可得,繼而可得AB=CE=CD,根據(jù)AB∥CD以及AE=ED,可推導(dǎo)得出CDE是等邊三角形,繼而可得出∠FCB=∠FBC=30°,∠FEA=∠FAE=30°,由EF=a,則AE=a,在Rt△DEH中,則可得DH=a,EH=a,從而可求得FH、DF長(zhǎng),再根據(jù)正弦的定義進(jìn)行求解即可得.

如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO、EO,作DHBE于H,設(shè)EF=a,

∵∠BAC=∠BEC=90°,BO=OC,

∴OA=OB=OC=OE,

A、B、C、E四點(diǎn)共圓,

∵AE∥BC,

∴∠EAC=∠ACB,

,

∴AB=CE=CD,

∵AB∥CD,

∴∠ACD=∠BAC=90°,

∵AE=ED,

∴CE=DE=AE=CD,

∴△CDE是等邊三角形,

∴∠ABC=∠CDE=60°,

∴∠FCB=∠FBC=30°,∠FEA=∠FAE=30°,

EF=a,則AE=a,

Rt△DEH中,∵∠HED=30°,DE=a,

∴DH=a,EH=a,

∴FH=a,

DF=,

∴sin∠DFE=,

故答案為

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智慧數(shù)學(xué)小組在課外數(shù)學(xué)活動(dòng)中研究了一個(gè)問題,請(qǐng)幫他們解答.

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(1)請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng)是______

(2)如圖2,當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn))至點(diǎn)G落在邊AB上時(shí),請(qǐng)計(jì)算DFCG的長(zhǎng),通過計(jì)算,試猜想DFCG之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置時(shí),(2)中DFCG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?請(qǐng)說明理由.

任務(wù)二:智慧數(shù)學(xué)小組對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究,如圖4,在ABCD中,∠B=60°,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點(diǎn),四邊形AEGF為平行四邊形,連接CG.“智慧數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DFCG仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系.

(4)如圖5,當(dāng)AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(比如順時(shí)針旋轉(zhuǎn)),其他條件不變時(shí),智慧數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)DFCG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系.

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(2)根據(jù)這類方程的特征,寫出第n個(gè)方程為________,其解為________;

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