Question

（2012•河源）（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的兩根為x₁、x₂；求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（-1，-1），設(shè)線段AB的長為d，當p為何值時，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)求根公式得出x₁、x₂的值，再求出兩根的和與積即可；
（2）把點（-1，-1）代入拋物線的解析式，再由d=|x₁-x₂|可知d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²，再由（1）中 x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²-4q
∴x=

-p± p2-4q

2

即x₁=

-p+ p2-4q

2

，x₂=

-p- p2-4q

2

∴x₁+x₂=

-p+ p2-4q

2

+

-p- p2-4q

2

=-p，
x₁•x₂=

-p+ p2-4q

2

•

-p- p2-4q

2

=q；

（2）把（-1，-1）代入y=x²+px+q得1-p+q=-1，
所以，q=p-2，
設(shè)拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²-4q=p²-4p+8=（p-2）²+4
當p=2時，d²的最小值是4．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關(guān)系，熟知x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q是解答此題的關(guān)鍵．