Question

【題目】如圖．在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2）．已知點(diǎn)E（m，0）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合）．過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P．交BC于點(diǎn)F．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)線段EF，PF的長度比為1：2時(shí)，請求出m的值；

（3）是否存在這樣的m，使得△BEP與△ABC相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝2或4；（3）存在，m的值為0或3．

【解析】

（1）把點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣2），PE=2EF，即：m﹣2m2m+2=2（2m），即可求解；

（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似，分∠EPB=∠CAB或∠EPB=∠ABC兩種情況，求解即可．

拋物線過點(diǎn)C，則其表達(dá)式為：yx2+bx﹣2，

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：0b﹣2，

解得：b，

故：拋物線的表達(dá)式為：yx2x﹣2；

設(shè)直線BC過點(diǎn)C（0，﹣2），設(shè)其表達(dá)式為：y=kx﹣2，

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式得：0=4k﹣2，

解得：k，則直線BC的表達(dá)式為：yx﹣2，

同理直線AC的表達(dá)式為：y=﹣2x﹣2，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣2），

當(dāng)線段EF，PF的長度比為1：2時(shí)，即：PE=2EF，則：m﹣2m2m+2=2（2m），解得：m=2或4；

直線BC的表達(dá)式為：yx﹣2，直線AC的表達(dá)式為：y=﹣2x﹣2，則：BC⊥AC，當(dāng)△BEP與△ABC相似，則∠EPB=∠CAB，或∠EPB=∠ABC，

即：tan∠EPB=tan∠CAB，或tan∠EPB=tan∠ABC，

當(dāng)tan∠EPB=tan∠CAB時(shí)，即：，

解得：m=0或4（舍去m=4），

同理，當(dāng)tan∠EPB=tan∠ABC，m=3或4（舍去m=4）．

故存在，m的值為0或3．