Question

如圖，菱形ABCD中，AB=5，AC=8，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿邊DA從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿邊AB從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．連接BP交AC于點(diǎn)E，連接QE．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求BD的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，QE∥AD？
（3）①在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)求出四邊形AQEP的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍；②當(dāng)△AQE的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，寫出此時(shí)S的值．（直接寫出答案）

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=4，BD=2BO，∠AOB=90°，∠1=∠2，
∴OA²+OB²=AB²，
∵AB=5，
∴16+OB²=25，解得，
OB=3，
∴BD=6
（2）∵QE∥AD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AQ=QE．
∵PD=t，AQ=t，
∴AP=5-t，QB=5-t，QE=t，
∵QE∥AD，
∴△BQE∽△BAP，
∴，
∴，解得，
t₁=（舍去），t₂=，
∴t=時(shí)，QE∥AD．
（3）①∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠2=∠ACB，∠PEA=∠CEB，
∴△APE∽△CBE，∴，
∴，
∴AE=．
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∴△AEF∽△ABO，
∴，
∴，
EF=
S_{四邊形AQEP}=S_△ABE=•EF•AB=×5×=
∴S= （0＜t≤5）
②S=．

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，由勾股定理先求出BO，再就可以求出BD的值了．
（2）由菱形的性質(zhì)及QE∥AD可以得出∠1=∠3，得出QE=AQ，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出其結(jié)論．
（3）①利用△APE∽△CBE將AE表示出來(lái)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，再根據(jù)△AEF∽△ABO表示出EF，最后利用三角形的面積公式就可以表示出結(jié)論；②由條件可以知道AEPQ四點(diǎn)共圓，得出∠AQE=∠APE=90°，由勾股定理可以求出其值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積及三角形的外接圓與外心．