Question

【題目】如圖，四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處出發(fā)（小球的大小忽略不計(jì)），以同樣的速度分別沿方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是點(diǎn)，順次連接四個(gè)小球所在的位置，得到四邊形．

（1）不論小球滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，求證；四邊形總是正方形；

（2）這個(gè)四邊形在什么時(shí)候面積最大？

（3）在什么時(shí)侯四邊形的面積為正方形面積的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)在即將出發(fā)或到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)；（3）當(dāng)分別在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為正方形面積的一半，理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意得,再結(jié)合四邊形是正方形，證明，即可證得四邊形為正方形；
(2) 根據(jù)題意得當(dāng)在即將出發(fā)或到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大；
(3) 當(dāng)分別在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為正方形面積的一半．

解：（1）根據(jù)題意得．

∵四邊形是正方形，

∴°，

∴．

∵在和中，

，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形，

∴，

∴，

∴四邊形為正方形．

（2）根據(jù)題意得當(dāng)在即將出發(fā)或到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)．

（3）當(dāng)分別在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為正方形面積的一半.

理由如下：

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，

則根據(jù)題意知．

在中，．

由勾股定理，得，

即，解得，

同理可得．

∴當(dāng)四個(gè)小球分別在正方形各邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為正方形面積的一半．