Question

【題目】如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點E是BC的中點，F(xiàn)是AB延長線上一點且FB＝1.

（1）求經(jīng)過點O，A，E三點的拋物線解析式；

（2）點P在拋物線上運動，當點P運動到什么位置時△OAP的面積為2，請求出點P的坐標；

（3）在拋物線上是否存在一點Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x2＋4x（2）(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)（3）拋物線上存在點Q(， )使△AFQ是等腰直角三角形

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點A、點E的坐標，設出二次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)即可；

（2）判斷出面積為2時的點的縱坐標，代入函數(shù)可求P點的坐標；

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論解答.

試題解析：(1)點A的坐標是(2，0)，點E的坐標是(1，2)．

設拋物線的解析式是y＝ax2＋bx＋c，根據(jù)題意，得

解得

∴拋物線的解析式是y＝－2x2＋4x.

(2)當△OAP的面積是2時，點P的縱坐標是2或－2.

當－2x2＋4x＝2時，解得x＝1，

∴點P的坐標是(1，2)；

當－2x2＋4x＝－2時，解得x＝1±，

此時點P的坐標是(1＋，－2)或(1－，－2)．

綜上，點P的坐標為(1，2)，(1＋，－2)或(1－，－2)．

(3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2.

則點A是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；

當點F是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；

當點Q是直角頂點時，Q到AF的距離是AF＝，若點Q存在，則Q的坐標是(， )．將Q(， )代入拋物線解析式成立．

∴拋物線上存在點Q(， )使△AFQ是等腰直角三角形．