Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點．
（1）求證：四邊形AFCD是矩形；
（2）當AD=3時，試求DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵F是BC的中點，
∴BC=2CF=2BF，
∵BC=2AD，
∴AD=CF=BF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵BC⊥CD，
即∠C=90°，
∴四邊形AFCD是矩形；

（2）過點A作AH⊥DE于點H，
∵四邊形AFCD是矩形，
∴∠AFB=90°，
∵E是AB的中點，
∴EF=BE=AE=

1

2

AB，
∵∠B=60°，
∴△BEF是等邊三角形，∠BAD=120°，
∴BF=EF=AE，
∵BF=AD，
∴AE=AD=3，
∴∠ADE=∠AED=30°，EH=

1

2

DE，
在Rt△AEH中，EH=AE•cos30°=3×

3

2

=

3

2

3

，
∴DE=3

3

．