證明:
(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,延長BC至D,使CD=BC,點E在邊AC上,以CE、CD為鄰邊作?CDFE,過點C作CG∥AB交EF于點G.連接BG、DE.
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由.
②求證:△BCG≌△DCE.
(2)如圖2,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
①試說明AC=EF;
②求證:四邊形ADFE是平行四邊形.

【答案】分析:(1)①由AB=AC與CG∥AB,根據(jù)等邊對等角與平行線的性質(zhì),易求得∠ACB=∠GCD;
②易證得CE=CD,∠BCG=∠ECD,然后由SAS證得:△BCG≌△DCE;
(2)①首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可證明△AFE≌△BCA,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF;
②根據(jù)①知道EF=AC,而△ACD是等邊三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形.
解答:證明:(1)①∠ACB=∠GCD.
理由:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵CG∥AB,
∴∠ABC=∠GCD,
∴∠ACB=∠GCD;

②∵四邊形CDFE是平行四邊形,
∴∠CEG=∠ACB,∠CGE=∠GCD,
∴∠CEG=∠CGE,
∴CE=CG,
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD,
即∠BCG=∠ECD,
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE(SAS);

(2)①∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF,且AB=2AF,
∴AF=CB,
而∠ACB=∠AFE=90°,
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
,
∴△AFE≌△BCA(HL),
∴AC=EF;

②由①知道AC=EF,
而△ACD是等邊三角形,
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD,且AD⊥AB,
而EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∴四邊形ADFE是平行四邊形.
點評:此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,矩形ABCD中,點M從A點出發(fā)在線段AB上作勻速運動(不與A、B重合),同時點N從B點出發(fā)在線段BC上作勻速運動.
(1)如圖1,若M為AB中點,且DM⊥MN.請在圖中找出兩對相似三角形:
 
 
_,②
 
 
,選擇其中一對加以證明;
(2)①如圖2,若AB=5,BC=3點M的速度為1個單位長度/秒,點N的速度為
12
個單位長度/秒,運動的時間為t秒.當t為何值時,△DAM與△MBN相似?請說明理由;
②如果把點N的速度改為a個單位長度/秒,其它條件不變,是否存在a的值,使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個三角形都相似?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.精英家教網(wǎng)

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如圖,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C為它們的公共直角頂點,連AD,BE,F(xiàn)為線段AD的中點,連CF,
(1)如圖1,當D點在BC上時,BE與CF的數(shù)量關系是
 
,位置關系是
 
,請證明.
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(2)如圖2,把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,其他條件不變,問(1)中的關系是否仍然成立?如果成立請證明.如果不成立,請寫出相應的正確的結論并加以證明.
(3)如圖3,把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)45°,若∠DCF=30°,直接寫出
BGCG
的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

19、已知:如圖所示,直線MA∥NB,∠MAB與∠NBA的平分線交于點C,過點C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點D、E.

(1)如圖1所示,當直線l與直線MA垂直時,猜想線段AD、BE、AB之間的數(shù)量關系,請直接寫出結論,不用證明;
(2)如圖2所示,當直線l與直線MA不垂直且交點D、E都在AB的同側(cè)時,(1)中的結論是否成立?如果成立,請證明:如果不成立,請說明理由;
(3)當直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側(cè)時,(1)中的結論是否仍然成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數(shù)量關系嗎?如果存在,請直接寫出它們之間的數(shù)量關系.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

25、已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點M、N,AH⊥MN于點H.
(1)如圖①,當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時,請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系:
AH=AB

(2)如圖②,當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時,(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎?如果不成立請寫出理由,如果成立請證明;
(3)如圖③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于點H,且MH=2,NH=3,求AH的長.(可利用(2)得到的結論)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,BC=k•AC,CD=k•CE.
(1)如圖1,當k=1時,AE與BD的數(shù)量關系是:
 
,位置關系是:
 
;
(2)如圖2,當k≠1時,請?zhí)剿鰽E與BD的關系,并證明;
(3)如圖3,在(2)的條件下,分別在BD、AE上取點M、N,使得BD=m•MD,AE=m•NE,試探索CN與CM的關系,并證明.
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