Question

14．已知如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE+EA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE=∠DAO=∠ODA，即可證明∠ODE=90°．
（2）利用△DAE∽△CAD得到AD²=AC•AE求出AE，再根據DE²=EA•EB解決問題．

解答 （1）證明：如圖1作連接OD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠CAM，
∴∠DAE=∠OAD=∠ODA，
∵DE⊥MN，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．
（2）解：如圖2中，設AE=x，則DE=6-x，AD=$\sqrt{{x}^{2}+（6-x）^{2}}$，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADC=∠DEA=90°，∠DAC=∠DAE，
∴△DAE∽△CAD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AC•AE，
∴x²+（6-x）²=10x
x=2（或9不合題意舍棄）
∴AE=2，ED=4，
∵DE是切線，
∴DE²=EA•EB，
∴16=2（2+AB），
∴AB=6．

點評 本題考查圓的切線的判定、直徑的性質、勾股定理切割線定理、相似三角形的判定和性質等知識，在圓中學會正確添加輔助線是解決問題的關鍵．