Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．

（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形AEMF是菱形，見解析.

【解析】

（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯(lián)立（1）的結(jié)論，可證得EC=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．

解：（1）∵ABCD是正方形,

∴AB=AD，∠B=∠D=90°,

又∵AE = AF,

∴（HL）,

∴BE = DF;

（2）四邊形AEMF是菱形，理由為：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），
BC=DC（正方形四條邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質(zhì)），
即CE=CF，
在△COE和△COF中，

,

∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．