Question

（2012•眉山）已知：PA、PB與⊙O相切于A點、B點，OA=1，PA=

3

，則圖中陰影部分的面積是

3

-

π

3

（結果保留π）．

Answer 1

分析：連接OP，由PA與PB都為圓O的切線，利用切線長定理得到PA=PB，且AP與OA垂直，PB與OB垂直，在直角三角形AOP中，由OA與PA的長，利用勾股定理求出OP的長，可得出OA為OP的一半，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半得出∠APO為30°，得出∠AOP為60°，同理得到∠BOP為60°，確定出∠AOB為120°，陰影部分的面積=三角形APO的面積+三角形BPO的面積-扇形AOB的面積，分別利用三角形的與扇形的面積公式計算，即可得到陰影部分的面積．

解答：解：連接OP，如圖所示，
∵PA、PB與⊙O相切于A點、B點，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，
在Rt△AOP中，OA=1，PA=

3

，
根據(jù)勾股定理得：OP=

OA2+AP2

=2，
∴OA=

1

2

OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
同理∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
則S_陰影=S_△AOP+S_△BOP-S_扇形AOB=

1

2

AP•OA+

1

2

BP•OB-

120π×12

360

=

1

2

×

3

×1+

1

2

×

3

×1-

π

3

=

3

-

π

3

．
故答案為：

3

-

π

3

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，勾股定理，以及扇形面積的計算，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．