Question

（2011•葫蘆島一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，以PQ為邊作正方形PQEF，使它與矩形ABCD在BC的同側(cè)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）
（1）用含t的代數(shù)式表示線段BQ的長；
（2）設(shè)正方形PQEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接AC，當(dāng)正方形PQEF與△ADC重疊部分為三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出BM，MQ，即可得出答案；
（2）分為三種情況：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，根據(jù)PQ=2t得出S=（2t）²；②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，根據(jù)PQ=2t，AB=6求出S=12t；③
當(dāng)4＜t≤8時(shí)，根據(jù)PC=12-t，ab=6求出S=-6t+72；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)求出t=

12

11

，當(dāng)F在AC上時(shí)求出t=

12

5

，即可得出答案；當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長線上時(shí)求出t=4．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=8，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴BC=AD=8，BM=4，
∵M(jìn)Q=t，
∴BQ=t+4；

（2）分為三種情況：①如圖1，

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，
∵PQ=2t，
∴S=（2t）²，
∴S=4t²；
②如圖2，

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，
∵PQ=2t，AB=6，
∴S=12t；
③如圖3，

當(dāng)4＜t≤8時(shí)，
∵PC=12-t，ab=6，
∴S=-6t+72；
（3）如圖4，

當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，
∵△CEQ∽△CAB，
∴

EQ

AB

=

CQ

BC

，
∴

2t

6

=

4-t

8

，
∴t=

12

11

，
當(dāng)F在AC上時(shí)，
∵△CPF∽△CBA，
∴

PF

AB

=

CP

BC

，
∴

2t

6

=

t+4

8

，
∴t=

12

5

，
∴

12

11

＜t≤

12

5

；
如圖5，

當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長線上時(shí)，t=4，
即t的取值范圍是

12

11

＜r≤

12

5

或t=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，注意要進(jìn)行分類討論�。�