Question

【題目】如圖，⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.

(1)求△ABC的面積；

(2)求⊙O的半徑；

(3)求AF的長．

Answer 1

【答案】(1) 6；(2)⊙O的半徑為1；(3) 3

【解析】(1)、已知了直角三角形的兩條直角邊，可根據(jù)直角三角形的面積公式求出△ABC的面積；(2)、連接OE、OD，則OE、OD即為所求的半徑；易證得四邊形OECD是正方形，那么CE、CD都等于⊙O的半徑，可用⊙O的半徑分別表示出BE、AD的長，由切線長定理知BE=BF、AD=AF，即可由BF+AF=AB=5求出⊙O的半徑；(3)、求得⊙O的半徑后，即可求出AD的值，而AF=AD，由此得解．

(1)、∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝×3×4＝6；

(2)、如答圖，連結OE，OD，OF.

∵⊙O為△ABC的內切圓，D，E，F(xiàn)為切點， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC.

又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四邊形ECDO為正方形， 設OE＝OD＝CE＝CD＝x，

則EB＝3－x，AD＝4－x，F(xiàn)B＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，

解得x＝1.即⊙O的半徑為1；

(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.