Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，CD交AB的延長(zhǎng)線于D，∠DCB=∠CAB．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若CD=4，BD=2，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵∠DCB=∠CAB，∠CAB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R+2，
∵CD=4，BD=2，∠OCD=90°，
由勾股定理得R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為3．
分析：（1）要證CD為⊙O的切線，只要證明OC⊥CD即可，由AB是⊙O的直徑可得∠ACB=90°，只要∠DCB=∠ACO，由半徑及已知∠DCB=∠CAB可得答案；
（2）可設(shè)出半徑，用半徑表示出OD，在直角三角形OCD中，利用勾股定理可求得半徑的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判斷及性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)；證明過半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是常用的方法，求圓的半徑常常用勾股定理，這些方法十分重要，要熟練掌握．