Question

（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P為上一動點，求證：PA=PB+PC．
下面給出一種證明方法，你可以按這一方法補全證明過程，也可以選擇另外的證明方法．
證明：在AP上截取AE=CP，連接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圓周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為上一動點，求證：PA=PC+PB．
（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，點P為上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關系，直接寫出結論．

Answer 1

證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，
連接CE．∵∠1=∠2=60°，∠3=∠4=60°，
∴∠CPE=60°，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=∠3=60°；
又∵∠EBC=∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴．（4分）

（3）答：；
證明：在AP上截取AQ=PC，
連接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
又∵∠APB=30°，
∴
∴（7分）
分析：（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．
點評：本題考查三角形全等的性質和判定方法以及正多邊形和圓的有關知識．要熟悉這些基本性質才能靈活運用解決綜合性的習題．