Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y＝－x＋b分別與x、y軸交于A(3，0)、B兩點(diǎn)．

（1）如圖，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O重合），以AD為邊，在第一象限內(nèi)作正方形ADEF．

①如圖，設(shè)點(diǎn)D為(0，m)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②如圖，連結(jié)EB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)G．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，G點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出G點(diǎn)的坐標(biāo)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）(0，3)；（2）①F(m＋3，3) ，②不變，(－3，0)

【解析】

（1）要求B點(diǎn)坐標(biāo)，得先求函數(shù)表達(dá)式，然后代入求值即可．

（2）①根據(jù)題意作圖，由正方形的性質(zhì)證明出△DOA≌△AMF，用m表示各邊長(zhǎng)，即可表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

②過E作EH⊥x軸于H，由正方形的性質(zhì)證明出△HDE≌△OAD，進(jìn)而證出△BHE是等腰直角三角形，即證出△BOG為等腰直角三角形即得到結(jié)果．

解： (1)把A(3，0)坐標(biāo)代入直線AB解析式y＝－x＋b，

得0＝－3＋b，

解得：b＝3，

∴ 直線AB的解析式為y＝－x＋3，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）；

(2)①過F作FM⊥x軸于M，則∠AMF＝∠AOD＝90°，

∵ 四邊形ADEF正方形，

∴ AD＝AF，∠DAF＝90°，

∴ ∠DAO＋∠FAM=90°，∠AFM＋∠FAM=90°，

∴ ∠DAO＝∠AFM，

∴ △DOA≌△AMF，

∴ FM＝OA＝3，AM＝OD＝m，

∴ OM＝m＋3，

∴ F(m＋3，3) ；

② G點(diǎn)位置不變，坐標(biāo)為：G（－3，0），

過E作EH⊥x軸于H則∠EHD＝∠DOA＝90°，

∵ 四邊形ADEF正方形，

∴ AD＝DE，∠ADE＝90°，

∴ ∠ADO＋∠HDE＝90°，∠ADO＋∠DAO＝90°，

∴ ∠HDE＝∠OAD，

∴ △HDE≌△OAD

∴ HE＝OD，OA＝DH，

∵ OA＝OB，

∴ DH＝OB，

∴ DH－BD＝BO－BD，

即：BH＝OD，

又HE＝OD，

∴ BH＝HE，

∴ △BHE是等腰直角三角形，

∴ ∠HBE＝45°，

∴ ∠OBG＝45°，

∴ △BOG為等腰直角三角形，

∴ OG＝OB＝3，

∴ G（－3，0）．

方法二：同方法一先證△HDE≌△OAD ，

∴ HE＝OD＝m，OA＝DH＝3，

∴ E(m，m＋3)，

∵ B(0，3)，

設(shè)直線BE的解析式為y＝kx＋b

則∵ m＞0，

∴k＝1，

∴ 直線BE的解析式為y＝x＋3，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－3，

∴ 點(diǎn)G的位置不變，坐標(biāo)為（－3，0）．