Question

【題目】在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連結EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數量關系（直接寫出結論）；

②當點D在線段BC的延長線上時，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD．（2）線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD．

【解析】

試題分析：①線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，根據旋轉的性質得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．

②結論仍然成立．證明的方法與（1）類似．

試題解析：①結論：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：

如圖1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD．

②結論仍然成立．理由如下：如圖2中，∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD．