Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，的直角頂點(diǎn)C在y軸上．

如圖1，點(diǎn)D是拋物線第一象限內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？最大面積是多少？

如圖2，長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段MN在的邊AB上運(yùn)動(dòng)，過(guò)M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點(diǎn)．

在線段MN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若四邊形MNQP是矩形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

在線段MN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】，；點(diǎn)D的坐標(biāo)是時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，最大面積是；點(diǎn)的坐標(biāo)為；M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

利用射影定理計(jì)算得，則，再設(shè)交點(diǎn)式，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；

作軸交BC于E，如圖1，先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為，設(shè)，則，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的四邊形ABCD的面積最大值；

易得AC的直線解析式為，設(shè)，則，，，利用矩形性質(zhì)得，解方程求出t得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，，，，利用相似三角形的判定方法當(dāng)時(shí)，∽，即；當(dāng)時(shí)，∽，即，然后分別解方程求出即可得到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

，，

，

，

，

設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為，

即；

作軸交BC于E，如圖1，

設(shè)直線BC的解析式為，

把，代入得，解得，

直線BC的解析式為，

設(shè)，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，

四邊形ABCD的面積最大值，

即動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，最大面積是；

易得AC的直線解析式為，

設(shè)，則，，，

四邊形MNQP是矩形，

，解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

，，，，

，

當(dāng)時(shí)，∽，即，解得，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，∽，即，解得，此時(shí)；

綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．